הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות
|
|
- ŌἈμώς Λαμέρας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול זה נעסוק בפתרון בעיית בחירת הפעילויות ע"י גישה חמדנית בעיית הפעילויות:, ונתונים זמני ההתחלה והסיום שלהן, כאשר נתונה קבוצה של פעילויות : מציינים, בהתאמה, את זמן ההתחלה והסיום של הפעילות ה- -ית ו- הגדרה: שתי פעילויות אינן מתנגשות אם או אינטואיטיבית, הכוונה שזמני הפעילויות אינם חופפים למעט, אולי, רגע בודד שבו מסתיימת פעילות אחת -ומתחילה פעילות שנייה הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אינן מתנגשות צריך למצוא: תת -קבוצה חוקית של פעילויות מתוך מקסימאלי של פעילויות( מקסימאלית בגודלה )תת -קבוצה בעלת מספר אבחנה: ייתכן כי יש יותר מקבוצה אחת כזאת נרצה להציג אלגוריתם חמדני שמוצא קבוצה חוקית מגודל מקסימאלי הבחירה החמדנית תבחר בכל שלב פעילות שאחרי בחירתה, משך הזמן שנשאר בכדי להמשיך ולשבץ בו פעילויות נוספות, הוא הארוך ביותר זוהי פעילות עם זמן סיום מוקדם ביותר נתחיל בהצגת פתרון איטראטיבי, ובהמשך נראה גם פתרון חמדני רקורסיבי אלגוריתם איטראטיבי האלגוריתם בונה קבוצת פעילויות, שהיא קבוצת הפעילויות הנבחרות בכל שלב נבחרת באופן חמדני פעילות אחת מתוך, שהיא קבוצת הפעילויות שמהן ניתן לבחור בתחילה ריקה ו- מכילה את כל הפעילויות עם כל בחירה, הפעילות שנבחרה נוספת ל - G ומ- S נמחקות כל הפעילויות שמתנגשות עם הפעילות שבחרנו, כך שלא תיבחר אחת מהן בהמשך While do: Return סכמה כללית מומלצת להוכחת נכונות )עבור אלגוריתמים חמדנים( בד"כ אלגוריתם חמדני בונה את הפתרון בשלבים כאשר בכל שלב הפתרון שהאלגוריתם בנה עד כה מוכל בפתרון אופטימאלי כלשהו בסוף ריצת האלגוריתם ערכו של הפתרון שהתקבל זהה לגודל הפתרון האופטימאלי ולכן הם שווים 1
2 הוכחת נכונות 1: )הועברה בהרצאה( אינטואיציה: נוכיח שבכל שלב של ריצת האלגוריתם מתקיים: קיים פתרון אופטימאלי המכיל את הקבוצה ( ) שהאלגוריתם בחר עד לאותה נקודה וכל שאר הפעילויות בו לקוחות מתוך קבוצת הפעילויות שנותרו לבחירה, ( S ) בהתחלה ריקה ומוכלת בכל פתרון בכל פעם שנוסיף ל- פעילות, יש להראות שעדיין קיים פתרון אופטימאלי המכיל את כלומר, יש להראות שכשמוסיפים ל - את הפעילות ה- -ית, קיים פתרון אופטימאלי המכיל את כל הפעילויות שנמצאות באותו רגע ב - נסתכל על, הפתרון שהובטח לנו כי הוא מכיל את הפעילויות הראשונות שבחרנו אם הוא מכיל גם את הפעילות ה- שבחרנו, סיימנו אם לא, נטען כי נוכל למצוא פתרון )אולי אחר( זהה בגודלו ל -, אשר מכיל את כל k האיברים הראשונים שבחרנו, וזאת ע"י החלפת איבר מסוים של )שאינו בין האיברים הקודמים( באיבר ה- שנוסף ל- טענה עיקרית: הקבוצה המוחזרת ע"י האלגוריתם היא קבוצת פעילויות חוקית מגודל מקסימאלי טענת עזר: בכל פעם שהאלגוריתם מגיע לבדיקת תנאי הלולאה קיימת קבוצה חוקית מגודל מקסימאלי של פעילויות מ- אשר מכילה את ושאר הפעילויות בה לקוחות מ- בלבד )כלומר: בסוף כל איטרציה מתקיים ) אבחנה: בכל פעם שמתווספת ל - פעילות, זוהי פעילות בעלת זמן סיום מינימאלי מבין כל הפעילויות ב- אשר אינה מתנגשת עם אף אחת מהפעילויות שנבחרו עד כה ב- )הסבר: הבחירה נעשית מתוך, ובכל הוספה קודמת של פעילות, הורדנו מ - את כל הפעילויות שמתנגשות עם אותה פעילות לכן מובטח לנו שכל בחירה תהיה מתוך קבוצת פעילויות שאינן מתנגשות עם אף פעילות שנבחרה בשלב קודם( הוכחת נכונות האלגוריתם: ראשית, נשים לב לכך שהאלגוריתם סופי- בכל איטרציה מוציאים מ- S לפחות פעילות אחת, ולכן בהכרח בשלב כלשהו יתקיים תנאי העצירה ( (, והאלגוריתם יסתיים לפי טענת העזר, קיימת קבוצת פעילויות חוקית מקסימאלית בגודלה המכילה את אשר מוחזרת בסיום האלגוריתם, ובפרט היא קבוצת פעילויות חוקית יתרה מזאת, בסיום הלולאה הקבוצה ריקה ולכן על פי טענת העזר אין ב- פעילויות נוספות 2
3 הוכחת טענת העזר: באינדוקציה על גודל הקבוצה, וכן מתקיים פעילויות - הקבוצה G המוחזקת ע"י האלגוריתם לאחר בחירת -ית שהאלגוריתם בחר - הפעילות ה- - קב' הפעילויות הנותרות, אחרי הורדת, ונסמנה נוכיח שקיימת קבוצה חוקית מקסימאלית המכילה את קבוצה חוקית מקסימלית המכילה את נסמן, אך יתכן ש- מתקיים נשים לב כי בעוד לכל סימונים: הערה: לא להניח את קיומה של הקבוצה, צריך להוכיח את זה וכל קבוצה חוקית מגודל מקסימאלי מכילה את, עבור, ומתקיים אשר מכילה את נניח כי קיימת קבוצה חוקית מגודל מקסימאלי : וכי אשר מכילה את ונראה כי קיימת קבוצה חוקית מגודל מקסימאלי, ולכן, אזי אם - וגם : נשים לב ש נראה ש- הטענה מתקיימת יצא גם מ, כלומר האיבר היחיד שיצא מהקבוצה i k )אם לא קיימת פעילות המתנגשת עם, ובהכרח קיימת פעילות אחרת, - ( כעת נראה כי הקבוצה הייתה חוקית, בסתירה למקסימאליות של כזו, אזי : היא קבוצת פעילויות חוקית מגודל מקסימאלי אשר מכילה את אינן מתנגשות אחת עם השנייה, ולכן נותר להראות שכל הפעילויות ידוע כי כל הפעילויות ב- : אינן מתנגשות עם ב- לפי האבחנה כמו כן,, היא אינה מתנגשת עם אף פעילות ב- מכיוון ש- ] [ ] [, מתקיים מתנגשת עם וכיוון ש-, לפי ]2[ מתקיים אשר מקיימת לכל פעילות o לא מתנגשת עם ולכן אינן מתנגשות ו- : מכיוון ש- אשר מקיימת לכל פעילות o לפי האבחנה בהכרח מצירוף של ]1[ נובע כי ברור כי לא מתנגשת עם מכאן ש- ולכן בקלות ניתן לראות כי כיוון ש- עדיין מתקיים מאותם השיקולים כמו במקרה הקודם )עבור התנאי ש ) מקסימאלית ולכן כמו כן היא קבוצה חוקית המכילה את הראנו כי 3
4 הוכחת נכונות 2: סימונים: - הפתרון שהאלגוריתם החמדן החזיר עפ"י סדר הבחירה - פתרון אופטימאלי כלשהו הממוין עפ"י זמן סיום הפעילויות, כלומר אינטואיציה: בכל פעם אנו בוחרים בפעילות עם זמן הסיום המוקדם ביותר וכך מאפשרים ליותר פעילויות להתקיים בהמשך נוכיח כי הפעילות בקבוצת הפעילויות שהאלגוריתם מחזיר, מסתיימת לפני הפעילות בפתרון האופטימאלי טענה עיקרית: הקבוצה המוחזרת ע"י האלגוריתם היא קבוצת פעילויות חוקית מגודל מקסימאלי טענת עזר: לכל l, לא אחרי הפעילות ה- ז"א הפעילות ה- -ית בקבוצת הפעילויות -ית בפתרון האופטימאלי שהאלגוריתם מחזיר, מסתיימת הוכחת הטענה העיקרית: חוקיות: לאחר הוספת פעילות ל- כל הפעילויות המתנגשות עימה מוצאות מקבוצת הפעילויות הנותרות, לכן בכל פעם שמתווספת ל- פעילות מ- היא אינה מתנגשת עם אף אחת מהפעילויות שנבחרו עד כה ב- אופטימאליות: נשים לב כי כיוון ש- הוא פיתרון אופטימאלי, אזי מטענת העזר נובע כי כיוון שהפעילות היא האחרונה שהוסיף האלגוריתם החמדן, אזי אין אף פעילות בקלט שזמן ההתחלה שלה גדול מ- מכאן נובע שאין אף פעילות בקלט שמתחילה אחרי לכן היא הפעילות האחרונה ב- ולכן ולכן הוכחת טענת עזר באינדוקציה על : מסתיימת ראשונה מבין כל הפעילויות, ובפרט הפעילות בסיס: נוכיח כי צעד האינדוקציה: הנחת האינדוקציה היא )]1[ הנחת האינדוקציה ]2[ ] [ ] [ אינן חותכות, אזי היות וכל הפעילויות ב- זרות( נבחרת מכיוון בזמן ש- ולכן עדיין נמצאת ב- מתחילה אחרי סוף פעילות כלומר הפעילות )החמדן בוחר בכל צעד פעילות עם זמן סיום את פעילות שהאלגוריתם החמדן בחר בצעד ה- מינימאלי ב- ) S מתקיים כי הערה: זמן הריצה של האלגוריתם האיטראטיבי במימוש נאיבי הינו מימוש נאיבי של מציאת הינו Ω וישנן לכל היותר כאשר קריאות הינו מספר, שכן זמן 4
5 אלגוריתם רקורסיבי גם בגרסא הרקורסיבית נשתמש לצורך הבחירה החמדנית באותו קריטריון שבו השתמשנו בגרסא האיטראטיבית, כולל נגדיר כקבוצת הפעילויות ב - אשר מתנגשות עם פעילות עצמה A If o Return else o index of an activity in A with earliest finishing time o Return דוגמא: 2 ו- 5 ראו דוגמאת ריצה באתר בדוגמא זו הפתרון שיתקבל מהפעלת האלגוריתם האיטראטיבי יהיה קבוצה המכילה את פעילויות A הוכחת נכונות: טענה עיקרית: הפונקציה הרקורסיבית מחזירה תת -קבוצה חוקית של מקסימאלית בגודלה טענה 1: )נכונות הבחירה החמדנית( תהי קבוצת פעילויות לא ריקה תהי אזי קיימת קבוצה חוקית מקסימאלית הפעילות עם זמן סיום מוקדם ביותר ב- ביחס ל- ) ) המכילה את טענה 2: )נכונות מבנה הרקורסיה( תהי קבוצת פעילויות לא ריקה תהי, קבוצה חוקית מקסימאלית המכילה את הפעילות, אזי תת הפתרון הוא קבוצה חוקית מקסימאלית עבור בעיית הפעילויות מתוך הקבוצה )כל פעילות מתנגשת עם עצמה( אבחנה: הקבוצה אינה ריקה ולכן 5
6 הוכחת הטענה הראשית: באינדוקציה שלמה על גודל הקבוצה קטן בלפחות 1 לאחר כל צעד אנו משתמשים באינדוקציה שלמה כיוון שגודל הקבוצה (**), שהיא אכן קבוצה חוקית אז מוחזרת תנאי העצירה מתקיים כאשר -בסיס: צעדים סופית ובכל צעד היא קטנה ממש, לאחר לכל היותר מכיוון ש- מקסימאלית המוכלת ב - יתקיים תנאי זה :, ונוכיח עבור המקרה שבו כך ש- -צעד: נניח את נכונות הטענה עבור כל קלט ) את הפעילות שנבחרה ע"י האלגוריתם בשלב הנוכחי )בו נסמן ב- את הפלט של הקריאה הרקורסיבית עם הקלט נסמן ב- ) )אנו רוצים להוכיח את הטענה עבור תת הקבוצה המוחזרת בשורה האחרונה, קטן ממש בגודלו מ- A לכן לפי הנחת - חוקיות: מהאבחנה נובע כי הקלט כמו כן, מהגדרת היא תת -קבוצה חוקית מקסימאלית בגודלה של האינדוקציה, היא קבוצת, ולכן גם הקבוצה לא מתנגשת עם הפעילות, אף פעילות ב- פעילויות חוקית קיומה מובטח, המכילה את קב' פעילויות חוקית מקסימאלית, - מקסימאליות: נסמן ב- היא קבוצה חוקית מקסימאלית עבור בעיית הפעילויות מתוך עפ"י טענה 1 מטענה 2 נובע כי מגודל מקסימאלי עבור ו- שתי הקבוצות הקבוצה מקס' מטענה 2(, לכן גודלן שווה ולכן מקס' מהנחת האינדוקציה ו - ( לכן, מגודל מקסימאלי היא תת-קבוצה חוקית של נובע כי גם מהמקסימאליות של )סוף צעד האינדוקציה( מכילה את כל היא נכונה גם עבור השלב ההתחלתי, בו - מכיוון שטענת האינדוקציה הוכחה לכל מקסימאלית בגודלה הפעילויות לכן הפונקציה הרקורסיבית מחזירה תת -קבוצה חוקית של הוכחת טענה 1: אינה סיימנו אחרת מכילה את אם תת -קבוצה חוקית מקסימאלית של תהי ** הפעילות בעלת זמן הסיום המינימאלי מבין כל הפעילויות ב- P מכיוון תהי מכילה את בנוסף, לפי אופן מקיימת אינן מתנגשות, אז כל פעילות שהפעילויות ב- אינה, כלומר מתקיים בסה"כ, לכל, מתקיים בחירתה של, נישאר עם קבוצה ונכניס במקומה את, לכן אם נוציא את מתנגשת עם אף פעילות ב- חוקית שגודלה לא השתנה, כנדרש מגודל מקסימאלי, המכילה את היא תת-קבוצה של כלומר, 6
7 הוכחת טענה 2: קבוצה חוקית מקסימאלית המכילה את הפעילות תהי היא קבוצת פעילויות חוקית, הרי גם הקבוצה מכיוון ש- חוקיות: ואין ב- מכיוון ש- חוקית היא תת קבוצה חוקית של )פרט ל- x עצמה( לכן אינה מגודל מקסימאלי עבור מקסימאליות: נניח בשלילה כי כך ש- Q, תת-קבוצה חוקית של היא תת -קבוצה חוקית של B כמו כן,, ולכן אינה מתנגשת עם, בסתירה למקסימאליות של היא קבוצת פעילויות פעילויות שמתנגשות עם x, כלומר קיימת אף פעילות ב- הערה: האלגו' החמדן פועל בצורה דומה לאלגו' האיטראטיבי הראשון שראינו לכן זמן הריצה של האלגוריתם הרקורסיבי גם הוא כאשר הינו מספר הפעילויות הערה: שימו לב לתכונה הקיימת באלגוריתם החמדן: לאחר כל שלב באלגוריתם, קבוצת הפעילויות הנותרות קטנה ממש אנו נשארים עם בעיה קטנה יותר, הדומה לבעיה המקורית בשני האלגוריתמים שהוצגו עד כה תכונה זו נראית באופן ברור באלגוריתם הבא תכונה זו קיימת באופן חבוי נציין כי באופן כללי, באלגוריתמים חמדניים, תכונה זו תמיד קיימת מציאת לא חייבת להיעשות באופן מפורש ניתן לשפר את האלגוריתם באופן כזה שזמן הריצה יהיה קצר יותר, כפי שנראה מיד הגרסא הבאה של אלגוריתם Activity_Iter שקולה לגמרי לזו שראינו בגרסא זו אין מחשבים את באופן מפורש, אלא i חישוב() Collide נעשה למעשה ע"י כך שמכניסים פעילות ל - G רק אם היא אינה מתנגשת עם פעילות קודמת, כלומר אינה ב- Collide() i G עבור האינדקס i האחרון שנוסף ל- While do: o o o if then: Return : ניתוח זמן ריצה של האלגוריתם כדי לנתח את זמן הריצה של האלגוריתם, יש לענות על השאלה כיצד נאפשר בכל שלב את בחירתה של פעילות בעלת זמן סיום מינימאלי מבין כל אלו שעדיין לא נבדקו, באופן יעיל? פתרון אחד הוא לבצע מיון מקדים של כל הפעילויות ב- בסדר עולה של זמני סיום זה יוסיף לזמן הריצה מחובר של 7
8 פתרון שני, להשתמש בערימת -מינימום שבה המפתחות הם זמני הסיום של הקטעים בניית הערימה נעשית ב- פעולות, וכל שליפה דורשת פעולות, ובסה"כ עבור שליפות נזדקק ל- (n )O nlog פעולות בסה"כ גם שימוש בערימה יוסיף לזמן הריצה מחובר של פעמים, כאשר בכל פעם מתבצע מספר קבוע של פעולות, לכן זמן הרצת ( ) לכן מתקבל כי: מיון מקדים כנ"ל: תנאי הלולאה מתקיים בדיוק הלולאה: בסה"כ נקבל ההוכחה דומה מאוד להוכחות הקודמות הרעיון הוא שבהינתן פתרון אופטימלי נקח את הפעילות הראשונה ששונה מזאת ב- המוחזר ע"י האלגוריתם ומראים שניתן להחליף את הפעילויות ולהישאר עם פתרון חוקי האופטימליות נובעת מכך שגודל לא השתנה 8
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה
Logic and Set Theory for Comp. Sci.
234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון
ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך
מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e
משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ
משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת
תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t.
תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 פתרון שאלה 1 נזכר כי בגרף (E G, =,V) עבור שני קודקודים d(u, (v,u, v הוא אורך מסלול קצר ביותר מ u ל v. אם אין מסלול מ u ל.d(u, v) =,v נתונות שתי בעיות. בעיה א' מופע: גרף מכוון
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,
דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)
חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'
מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר
פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur
פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p
( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת
הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (
{ : Halts on every input}
אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.
תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות
Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון
צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים
מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה
לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור
הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין
שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם
תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא
gcd 24,15 = 3 3 =
מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =
= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(
א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π
פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.
פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך
brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק
יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות
[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m
Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות
x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy
גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת
מודלים חישוביים תרגולמס 5
מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך
הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה
פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון
תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית
אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:
תרגול פעולות מומצאות 3
תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה
תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות
תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית
c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )
הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim
גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות
08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.
פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).
מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של
אינפי - 1 תרגול בינואר 2012
אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,
אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11
אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6
logn) = nlog. log(2n
תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)
פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.
בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית
קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.
א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.
תכנון דינאמי. , p p p והמטריצה המתקבלת היא בגודל
תכנון אלגוריתמים, אביב, תרגול מס' תכנון דינאמי תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (6..(CLR ראשית נראה דוגמא:. A, A, A, A נסמן את גודל המטריצות בסדרה ע"י סדרת גדלים כאשר, p 5 5 p היא
co ארזים 3 במרץ 2016
אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם
(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;
מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,
אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר
אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S
תוכן הפרק: ,best case, average case דוגמאות 1. זמן - נמדד באמצעות מס' פעולות סיבוכיות, דוגמאות, שיפור בפקטור קבוע האלגוריתם. וגודלם. איטרטיביים. לקלט.
פרק סיבוכיות פרק סיבוכיות המושג יעילות מהו? במדעי המחשב היעילות נמדדת בעזרת מדדי סיבוכיות, החשובים שבהם: של אלגוריתמים יעילותם תוכן הפרק: יעילות מהי (זיכרון וזמן, זמן ריצה T( של אלגוריתם מהו, מהם case,
מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות
מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט
הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי
הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים
מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #11
מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול # התאמת מחרוזות סימונים והגדרות: P[,,m] כך Σ * טקסט T )מערך של תווים( באורך T[,,n] n ותבנית P באורך m ש.m n התווים של P ו T נלקחים מאלפבית סופי Σ. לדוגמא: {a,b,,z},{,}=σ.
מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1
1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n
תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012
תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),
סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל
סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר
פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז
פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות 88-211 סמסטר א תשע ז הוראות בהגשת הפתרון יש לרשום שם מלא, מספר ת ז ומספר קבוצת תרגול. תאריך הגשת התרגיל הוא בתרגול בשבוע המתחיל בתאריך ג טבת ה תשע ז, 1.1.2017. שאלות
חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r
ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות
בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד
בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד סמסטר: א' מועד: א' תאריך: יום ה' 0100004 שעה: 04:00 משך הבחינה: שלוש שעות חומר עזר: אין בבחינה שני פרקים בפרק הראשון 8 שאלות אמריקאיות ולכל אחת מהן מוצעות
1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )
הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y
תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות
תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si
תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012
תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................
טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.
1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח
אלגוריתמים / תרגיל #1
1 אריאל סטולרמן אלגוריתמים / תרגיל #1 קבוצה 02 (1) טענה: אם בגרף לא מכוון וקשיר יש 2 צמתים מדרגה אי זוגית ושאר הצמתים מדרגה זוגית, זהו תנאי הכרחי ומספיק לקיום מסלול אויילר בגרף. הערות: הוכחה: התוספת כי
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת
חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.
חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.
תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.
תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא
מבוא ללוגיקה מתמטית 80423
מבוא ללוגיקה מתמטית 80423 24 במרץ 2012 איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה או המתרגל קשורים לסיכום זה בשום דרך. הערות יתקבלו בברכה.noga.rotman@gmail.com אהבתם? יש עוד! www.cs.huji.ac.il/
תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,
תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L
אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט
467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,
I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx
דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 2 1 1 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 2 3 1 2 0 1 5 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0.1 עבור :A לכן = 3.rkA עבור B: נבצע פעולות עמודה אלמנטריות
מבחן מועד ב' בהצלחה! אנא קיראו היטב את ההוראות שלהלן: ודאו כי כל עמודי הבחינה נמצאים בידכם.
7.8.2017 מבחן מועד ב' תאריך הבחינה: שמות המרצים: מר בועז ארד פרופ' עמוס ביימל מר יהונתן כהן דר' עדן כלמטץ' גב' מיכל שמש אנא קיראו היטב את ההוראות שלהלן: שם הקורס: תכנון אלגוריתמים מספר הקורס: 202-1-2041
חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.
חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................
השאלות..h(k) = k mod m
מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות מתרגיל 5 השאלות 2. נתונה טבלת ערבול שבה התנגשויות נפתרות בשיטת.Open Addressing הכניסו לטבלה את המפתחות הבאים: 59 88, 17, 28, 15, 4, 31, 22, 10, (מימין לשמאל),
מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים
מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים (8..05). טענה אודות סדר גודל. log טענה: מתקיים Θ(log) (!) = הוכחה: ברור שמתקיים: 3 4... 4 4 4... 43 פעמים במילים אחרות:! נוציא לוגריתם משני האגפים: log(!) log( ) log(a b
. {e M: x e} מתקיים = 1 x X Y
שימושי זרימה פרק 7.5-13 ב- Kleinberg/Tardos שידוך בגרף דו-צדדי עיבוד תמונות 1 בעיית השידוך באתר שידוכים רשומים m נשים ו- n גברים. תוכנת האתר מאתרת זוגות מתאימים. בהינתן האוסף של ההתאמות האפשריות, יש לשדך
כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS
כלליים שיטות חיפוש בבגרפים שיטה 1: חיפוש לרוחב S (readth irst Search) זמן: ) Θ( V + הרעיון: שימוש בתור.O שיטה 2: חיפוש לעומק S (epth irst Search) Θ( V + ) יהי =(V,) גרף כלשהו, V הוא צומת התחלת החיפוש.
תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת
תרגול 3 ניתוח לשיעורין תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר 2011. ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת חסמי זמן ריצה נמוכים יותר מאשר חסמים המתקבלים כאשר
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת
ניתוח סיבוכיות - פונקציות רקורסיביות פיתוח טלסקופי
ניתוח סיבוכיות - פונקציות רקורסיביות פיתוח טלסקופי ננסה להשתמש בכך שהפונקציה היא רקורסיבית על מנת לרשום גם עבור הסיבוכיות ביטוי רקורסיבי. factorial() 3 מתחילים מכתיבת ביטוי לא מפורש ל-( T( ביטוי רקורסיבי
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)
רשימת בעיות בסיבוכיות
ב) ב) רשימת בעיות בסיבוכיות כל בעיה מופיעה במחלקה הגדולה ביותר שידוע בוודאות שהיא נמצאת בה, אלא אם כן מצוין אחרת. כמובן שבעיות ב- L נמצאות גם ב- וב- SACE למשל, אבל אם תכתבו את זה כתשובה במבחן לא תקבלו
הרצאה נושאי הקורס 0.2 א"ב ומילים 0.3 שפות 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן?
הרצאה 1 0.1 נושאי הקורס 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן? בקורס זה נעסוק בבעיות חישוב הנקראות בעיות הכרעה. בהינתן קלט, אנו נבצע "חישוב" ובסופו נחזיר תשובה האם הקלט
אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:
2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב
אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני
גירסה 1.00 5.12.2002 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני מסמך זה הינו השני בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר
קובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים
אוטומטים ושפות פורמליות 236353 סמסטר אביב 2016 קובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים קובץ ונערך ע"י אורן אשכנזי ומיכל הורוביץ תכונות סגור ודקדוקים רגולריים. עבור שפות L 1, L 2 מעל א"ב Σ נגדיר
חשבון אינפיניטסימלי 1
חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.
xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx
האם קיים קשר בין העדפה ובחירה? ההנחה שקיים קשר הדוק בין מערכת ההעדפות של היחידה הכלכלית ובין התנהגותה המתבטאת בבחירה בין האפשרויות העומדות בפניה מקובלת מאד בתיאוריה הכלכלית. למעשה הנחת העבודה הבלעדית בניתוח
תוכן עניינים I בעיות מיון 2 1 סימון אסימפטוטי... 2 II מבני נתונים 20 8 מבני נתונים מופשטים משפט האב גרפים... 37
תוכן עניינים I בעיות מיון 2 1 סימון אסימפטוטי................................................ 2 2 מיון בועות. Bubble Sort............................................ 2 3 מיון מיזוג. Merge Sort............................................
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע
ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע "י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות:
שאלה 1 בנה אוטומט המקבל את שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המכילות לפחות פעם אחת את הרצף ומיד אחרי כל אות מופיע הרצף. ניתן לפרק את השפה לשתי שפות בסיס מעל הא"ב :{,,} שפת כל המילים המכילות לפחות פעם אחת את
תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית:
משפט הדיברגנץ תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: div(f ) dxdy = F, n dr נוסחת גרין I: uδv dxdy = u v n dr u, v dxdy הוכחה: F = (u v v, u x y ) F = u v כאשר u פו' סקלרית:
CHAIN MATRIX MULTIPLICATION וגיא בן-חורין
CHAIN MATRIX MULTIPLICATION פנוש אורי וגיא בן-חורין CHAIN MATRIX MULTIPLICATION חזרה קצרה על הכפלת מטריצות הגדרת בעיית הכפלת שרשרת מטריצות פתרון רקורסיבי לבעיה ייעול הפתרון הרקורסיבי ע"י memoization הצגת
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8.1 נניח כי (R) A M n מקיימת = 0 t.aa הוכיחו כי = 0.A הוכחה: נביט באיברי האלכסון של.AA t.(aa t ) ii = n k=1 (A) ik(a t ) ki = n k=1 a ika ik = n k=1 a2 ik = 0 מדובר במספרים ממשיים,
הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.
1 לוגיקה סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר הקדמה הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. הערה 0.2 נשים לב שלכל שפה יש רובד
תורת הגרפים - סימונים
תורת הגרפים - סימונים.n = V,m = E בהינתן גרף,G = V,E נסמן: בתוך סימוני ה O,o,Ω,ω,Θ נרשה לעצמנו אף להיפטר מהערך המוחלט.. E V,O V + E כלומר, O V + E נכתוב במקום אם כי בכל מקרה אחר נכתוב או קשת של גרף לא
סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין
סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,
אלגברה לינארית 1 יובל קפלן
אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר
רשימת משפטים והגדרות
רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F
אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון
גירסה 1. 11.11.22 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון מסמך זה הינו הראשון בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת